Markus Schwenkreis studierte Kirchenmusik am Leopold-Mozart-Konservatorium der Stadt Augsburg (Orgel bei Karl Maureen). Sein Interesse für die Alte Musik zog ihn 1994 nach Basel, wo er 1998 an der Schola Cantorum Basiliensis (Orgel bei Jean-Claude Zehnder, Improvisation bei Rudolf Lutz) die Diplomprüfung ablegte und im Anschluss daran Theorie der Alten Musik studierte. Er ist Preisträger des Internationalen Orgelwettbewerbs NDR-Musikpreis 2000 und des 13. Paul-Hofhaimer-Wettbewerbs der Stadt Innsbruck 2001.
Seit Beginn seines Studiums in Basel ist Markus Schwenkreis Organist an der Heilig Kreuz-Kirche in Binningen und seit 2012 Organist an der historischen Silbermann-Orgel des Doms zu Arlesheim, wo er auch als künstlerischer Leiter der Domkonzerte Arlesheim tätig ist.
An der Schola Cantorum Basiliensis unterrichtet er Theorie der Alten Musik und Improvisation auf historischen Tasteninstrumenten. Als Mitglied der „Forschungsgruppe Basel für Improvisation“ betreut er am selben Institut die Organisation der „Studientage Improvisation“. Er ist Herausgeber des Compendium Improvisation, einer Publikation zur Improvisation in Stilen des 17. bis 18. Jahrhunderts, die 2018 im Schwabe-Verlag erschienen ist.